Limitaciones de la Matemática

LIMITACIONES DE
LA MATEMÁTICA

“Es común hablar de ‘el lenguaje de las matemáticas’. ¿Pero es la matemática verdaderamente un lenguaje?” (F. David Peat)

“Para interpretar la notación matemática es preciso conocer qué clase de gramática usa” (Stephen Wolfram)

“La esencia de la matemática reside en su completa libertad” (Cantor)

La Naturaleza de la Matemática
A nivel histórico, ha habido una larga polémica sobre la cuestión de la naturaleza de la matemática. Sorprendentemente, hoy día todavía no sabemos exactamente lo que es. Se suele afirmar que es mejor no definir la matemática porque, si así se hiciera, supondría limitarla, circunscribir su dominio.

La pregunta “¿Qué es la matemática?” ha tenido diferentes respuestas a lo largo de la historia, entre ellas las siguientes:

La ciencia de la conciencia.
La ciencia de la mente y el pensamiento.
La ciencia del razonamiento.
Una forma de conocimiento abstracto o la estructura abstracta de la realidad.
La esencia común de todas las cosas.
La ciencia de lo genérico y lo universal.
El lenguaje de la naturaleza.
La ciencia del orden y la armonía.
La ciencia de la medida.
La estructura de un mundo superior, perfecto e ideal, del que el mundo material es un reflejo imperfecto.
Una forma de lógica o una rama de la lógica.
La ciencia de los sistemas formales.
El lenguaje formal de la ciencia.
Un lenguaje universal para estudiar problemas.
Una teoría de los universales.
Un conjunto de dominios, más o menos relacionados, como aritmética, geometría, álgebra, topología, etc.
Un sistema de símbolos y su manipulación.
La ciencia de los patrones o formas y sus relaciones.
La ciencia de las formas significantes.
La sintaxis lógica del lenguaje.
La lógica de la imaginación.
La ciencia de los arquetipos estructurales.
La filosofía formalizada.
La ciencia del infinito.
El estudio de los objetos mentales con propiedades reproducibles.
La ciencia de lo que es claro por sí mismo.
La más cierta de todas las ciencias.
La forma suprema del pensamiento puro.
El fundamento de todo conocimiento.
Un lenguaje simbólico en el que la mente asigna significado a los símbolos.
La estética de la razón.
La relación de relaciones.
La ciencia del conocimiento trascendente. Esto enlazaría con la metafísica, con la filosofía e incluso con la espiritualidad.

Entre todas estas respuestas, la primera respuesta es la más elevada de todas: la matemática como la ciencia de la conciencia. A partir de ella, todas las demás concepciones deben ser consecuencias.

Débil fundamentación

Sin un conocimiento de la verdadera naturaleza o esencia de la matemática difícilmente podemos fundamentarla. La fundamentación de la matemática (conocida de forma abreviada como FOM, Foundations of Mathematics) es el estudio de sus conceptos más básicos o fundamentales y las relaciones (estructurales y funcionales) entre ellos. Puede parecer sorprendente, pero la matemática, una ciencia clave que sustenta nuestra sociedad, carece de fundamentos sólidos o no se sabe en qué consiste exactamente su fundamentación.

La FOM es un tema de enorme importancia desde el punto de vista teórico y práctico, así como también filosófico y psicológico. Hoy día hay un interés renovado por este tema porque se reconoce que falta una verdadera estructura de la matemática como sistema y como lenguaje.

Se suele hablar de la filosofía de la matemática, de la filosofía derivada de la matemática. Pero el punto de vista debe ser el contrario: la matemática debe fundamentarse en la filosofía. La matemática no puede fundamentarse a sí misma. Sus fundamentos tienen que ser más profundos: tienen que ser de tipo filosófico.

Fragmentación

La matemática se ha convertido en una torre de Babel, pues se ha ido fragmentando progresivamente en ramas o dominios más o menos dispersos:

Hay demasiadas ramas matemáticas, cada una con sus correspondientes teorías y demasiados conceptos (conjuntos, vectores, matrices, tensores, funciones, categorías, estructuras, etc.) sin una fundamentación conceptual común.
Proliferan diferentes notaciones, terminologías y definiciones.
Hay redundancia. Muchos de los descubrimientos que se realizan en un dominio son a veces una replicación de resultados ya conocidos de otro dominio, pero con una formalización diferente.
Como consecuencia de todo ello, hay poca o nula comunicación entre las diferentes áreas, creándose de hecho barreras conceptuales y lingüísticas entre ellas.

La fragmentación de la matemática empezó a comienzos del siglo XVIII y adquirió carácter patológico en el siglo XX, con una división en dominios cada vez más especializados. Muchos de estos dominios desaparecieron, otros florecieron. El resultado ha sido la extinción de la especie de los matemáticos generalistas o universalistas, cuyos últimos exponentes fueron Henri Poincaré y John Von Neumann.

La AMS (American Mathematical Society) enumera 50 especialidades matemáticas principales, que van desde la topología algebraica a la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Estas especialidades se dividen, a su vez, en más de 300 subespecialidades.

Es quizás por tanta fragmentación por lo que se llaman “matemáticas”, en plural, pues hay muchas y diversas. La matemática necesita urgentemente un lenguaje unificado, con una base conceptual común, que conecte los diferentes dominios.

Paradigmas

Un paradigma es “una visión del mundo”, una forma de abstracción de la realidad. A lo largo de la historia ha habido diferentes paradigmas matemáticos, que se han basado solo en un concepto (o paradigma conceptual). Los conceptos que se han utilizado han sido el de número, el de conjunto, el de estructura, el de función y el de categoría.

Pero lo que necesitamos es un cambio de paradigma, pero no uno más, sino un nuevo paradigma de tipo global y unificador. Un paradigma que debe basarse en unos pocos conceptos primitivos y que permita fundamentar y expresar el resto de los paradigmas. Estos conceptos primitivos deberían comprenderse en términos tan sencillos como sea posible. A partir de estos conceptos primitivos se debería poder definir nuevos conceptos (derivados) en un entorno tal que facilite la expresividad y la creatividad. Este enfoque unificador es precisamente el que está siguiendo la física, que busca una “teoría de todo”, aunque en este caso “todo” se refiere únicamente al mundo físico.

Conceptos restringidos

Los conceptos matemáticos, en general, suelen estar restringidos. Pero los conceptos matemáticos fundamentales deben ser universales o tener la máxima generalidad, profundidad y abstracción posibles. Pero deberían de cumplir tres condiciones, que están relacionadas entre sí:

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Genericidad.
Todo concepto matemático fundamental o primario debe ser genérico. Los conceptos secundarios deben poder derivarse de los primarios. Por ejemplo:

El concepto de número imaginario. Si existen números imaginarios, la genericidad exige que deben de existir todo tipo de expresiones imaginarias: conjuntos imaginarios, funciones imaginarias, categorías imaginarias, etc.
A nivel de dominio matemático, si existe una aritmética imaginaria, debe haber también un álgebra imaginaria, una lógica imaginaria, una geometría imaginaria, etc. Y si existe una lógica difusa (o borrosa), debe existir también una aritmética difusa, un álgebra difusa, etc.
El concepto de vector, definido como segmento de recta orientado. Su generalización es el multivector: segmentos orientados de dos o más dimensiones. Este concepto, en este caso, sí existe y fue concebido por Grassmann.
La parametrización. El único objeto matemático parametrizable es una función. Pero este concepto debería poderse aplicar a cualquier objeto matemático: un conjunto, una secuencia, un número, etc.
Si hay clases o categorías de conjuntos o funciones, debería haber también clases o categorías para todo tipo de objetos matemáticos, sin excepción. Por ejemplo, categorías de funciones de funciones, categorías de expresiones lógicas, categorías de números, etc.

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Ortogonalidad.
La ortogonalidad se refiere a la combinatoria libre de los conceptos, entidades, objetos o expresiones matemáticas, sin restricciones de ningún tipo. Por ejemplo:

Una función debería poder devolver como resultado cualquier objeto matemático: una función, una función de orden superior, un rango numérico, un conjunto, una secuencia de conjuntos, etc.
Conceptos como matrices y vectores se componen de “números”. Esto es restrictivo. Deberían poderse componer de cualquier tipo de expresiones y no solo de números. Por ejemplo, matrices de vectores, vectores de matrices, vectores de funciones, etc.
Las operaciones lógicas no son genéricas pues se aplican solo sobre expresiones lógicas, es decir, las que se evalúan como V (verdadero) o F (falso).
Las operaciones aritméticas tampoco son genéricas pues se aplican solo sobre números o sobre variables. No se pueden aplicar sobre funciones, conjuntos, valores lógicos, etc.
Los predicados (o atributos) deberían poderse aplicar a cualquier objeto matemático (una función, un conjunto, etc.).
La condición se aplica para especificar elementos de un conjunto que tienen determinada propiedad. No existe una notación estándar. Se suele representar como “|” (barra vertical) o “;” (punto y coma). Ninguno de estos símbolos se corresponde con un operador de semántica definida. Por ejemplo, {n | n∈N ∧ n>5} (especifica el conjunto de números naturales mayores que 5). Pero la condición debe poder ser aplicable a todo tipo de objeto matemático (si se cumple la condición, se selecciona dicho objeto).

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Reflexividad.
Cuando se utiliza un concepto, debe haber siempre conceptos de orden superior, es decir, debe haber reflexión o recursión conceptual: todo concepto debe poderse aplicar también a sí mismo. Surgen así los conceptos de conceptos (conceptos de orden 2), conceptos de conceptos de conceptos (conceptos de orden 3), etc. En realidad es una auto-ortogonalidad, es decir, una combinatoria conceptual con el propio concepto. Y este mecanismo se debe refleja también en los diferentes dominios matemáticos, debiendo existir una aritmética de orden superior, una lógica de orden superior, una geometría de orden superior, etc. Por ejemplo:

Expresiones imaginarias de orden superior: números de números, números imaginarios de números imaginarios, funciones imaginarias de funciones imaginarias, funciones de funciones, vectores de vectores, matrices de matrices, multivectores de multivectores, predicados de predicados, etc.
Existen los operadores aritméticos de suma, producto (suma de sumas) y exponenciación (producto de productos), pero no existe una notación estándar para las operaciones de orden superior (exponenciación de exponenciaciones, etc.).
Si existe el concepto de infinitésimo, deben existir infinitésimos de orden superior. Y lo mismo con los números infinitos, aunque este aspecto lo intentó cubrir Cantor con sus números transfinitos.
Toda expresión parametrizada debe poder ser, a su vez, parametrizada (expresiones parametrizadas de orden superior).

El lenguaje matemático

Se suele hablar del “lenguaje matemático”, pero la matemática carece de lenguaje formal. Para que lo tuviera necesitaría:

Una semántica lexical. Un conjunto de primitivas semánticas, conceptos primarios o fundamentales.
Una semántica estructural. Unas reglas sobre cómo combinar esos conceptos fundamentales para crear expresiones y conceptos derivados.
Una sintaxis o notación formal.

Los lenguajes tradicionales se definen mediante una gramática formal (o sintáctica). Pero la matemática no es un lenguaje más, no es un lenguaje concreto, es un lenguaje universal, y no puede estar limitada por una gramática formal. Por lo tanto:

La matemática (como la mente) debe estar basada en grados de libertad, que son los conceptos fundamentales y sus reglas combinatorias.
El lenguaje matemático debe basarse en una gramática semántica, una gramática que relacione los conceptos fundamentales sin restricciones. El principio universal de economía exige que la semántica lexical sea igual a la semántica estructural, es decir, que la combinatoria entre primitivas se realice mediante las propias primitivas.
Además debe tener una sintaxis que sea reflejo de la semántica, de tal manera que dada la sintaxis se deduzca la semántica, y que la semántica tenga un reflejo sintáctico unívoco. Semántica y sintaxis deben ser biunívocas, dos caras de una misma moneda.

Falta de humanismo

La matemática se ha convertido en una disciplina compleja, difícil de entender, con conceptos generalmente poco intuitivos y con una notación un tanto esoterica. En definitive, una disciplina poco humanista, fuera de la cultura común, solo para “iniciados”.

El ensayista y poeta Hans Magnus Enzensberger [2001] se pregunta: “Cómo es posible que las matemáticas se hayan quedado como una especie de punto ciego de nuestra cultura, como si fuera un territorio ajeno?”.

Esta situación es paradójica, pues la matemática, si es el fundamento de las ciencias formales, debería tener unos fundamentos muy simples y estar integrada en la cultura humana.

Históricamente, la matemática se ha considerado una disciplina absoluta, perfecta, precisa, objetiva y universal, independiente del contexto cultural o epistemológico. Sin embargo, todas estas características han ido decayendo, sobre todo con la aparición del movimiento de la matemática humanista. La matemática humanista es una filosofía que intenta buscar el lado humano del pensamiento matemático en dos aspectos principales: 1) La matemática fundamentada en el humanismo; 2) La enseñanza/aprendizaje humanista de la matemática.

Las características de la matemática humanista son:

La matemática como ciencia de la mente y de la conciencia. La matemática es una disciplina intelectual, una actividad de la mente y de la conciencia humana.
La matemática como paradigma, es decir, como una forma de concebir la realidad, pero que también permita contemplar y abordar temas desde diferentes perspectivas y nuevas formas de conciencia.
La matemática como epistemología, es decir, como sistema de conceptos inherentes al ser humano.
La matemática como filosofía que nos ayude a comprender este mundo y otros mundos posibles.
La intuición como elemento clave para la comprensión y elaboración de conceptos, que debe apoyarse en metáforas y analogías. La intuición tiene que estar siempre por encima de la formalización. Lo interno debe prevalecer sobre lo externo. Lo externo debe reflejar lo interno.
Fin de la matemática dogmática y autoritaria, de verdades absolutas e indiscutibles. No debe haber dogmas establecidos a priori. Todo es cuestionable y revisable, en especial sus fundamentos.

El paradigma de la verdad absoluta ha sido desafiado por muchos matemáticos, entre ellos, Philip J. Davis, Reuben Hersh, Imre Lakatos, Philip Kitcher, Paul Ernest y Tom Tymoczko.
La matemática debe ser abierta, flexible y relativa, con axiomas modificables, que favorezca la abstracción, la creatividad, el descubrimiento y la invención. El conocimiento matemático, como en cualquier otra ciencia, debe ser abierto y en continua revisión.
Unificación frente a fragmentación. Unificación de la matemática “pura” y aplicada, entre teoría y práctica, entre matemática como sistema y matemática como medio o herramienta.
Integración con la cultura. La matemática no es una disciplina aislada, sino que tiene conexiones interdisciplinarias. La matemática es solo una parte del conocimiento colectivo de los seres humanos y tiene sentido solo en un contexto cultural.
La matemática como lenguaje. El constructivismo como forma de hacer matemática.
La matemática como la búsqueda de la simplicidad, la belleza y la armonía.
Búsqueda de nuevas formas de enseñanza y aprendizaje, de nuevos paradigmas educativos. Hay que favorecer el descubrimiento y la libertad frente al dirigismo. La educación debe ser progresiva, evolutiva, en espiral y utilizando los dos modos de conciencia (racional e intuitiva).
Eliminar fronteras entre especialistas y la gente común. Hacer que los conocimientos matemáticos sean accesibles a todos.
Profundizar en la verdadera naturaleza de la matemática y en su carácter universalista.
Redefinición del papel de la lógica en la matemática, por las limitaciones puestas de manifiesto por Gödel en 1931 con su famoso teorema de incompletud de los sistemas axiomáticos formales.
Considerar el impacto del ordenador como nuevo paradigma de la matemática y de la lógica. Considerar también el impacto de la ciencia cognitiva.
Respeto a las contradicciones y paradojas, pues son fuente de creatividad.
Incluir el pensamiento no lineal para abordar temas complejos, como la teoría del caos.
Manejo grados de verdad, información aproximada y conceptos difusos.

Adenda
Algunas propuestas sobre la “nueva matemática”

Ludwig Von Bertalanffy, el creador de la Teoría General de Sistemas afirmaba que era necesario buscar unas nuevas matemáticas de tipo gestáltico, en las que fuera fundamental, no la noción de cantidad, sino más bien, la de relación.
René Thom abogaba por una nueva matemática que integre aspectos cualitativos y cuantitativos para aplicarla a las “formas significantes”.
Edward MacNeal [1994] ha acuñado al término “Mathsemantics” para referirse a una forma revolucionaria de ver la matemática: como un lenguaje de la mente que integre números (matemática) y significado (semántica), ciencias que nacieron independientemente, para ofrecer una nueva forma de ver el mundo.
George Spencer-Brown, con sus “Leyes de la Forma”, aboga por una matemática de la conciencia.
Stephen Wolfram aboga por “una nueva clase de ciencia”, un nuevo paradigma científico universal para realizar modelos de sistemas y para entender el propio universo. Se trata de fundamentar la matemática sobre el concepto de computación con autómatas celulares que utilizan reglas simples de transformación local que, aplicadas recursivamente, producen resultados (patrones) de gran complejidad. Según Wolfram, el universo es un computador.

Historia de la matemática humanista

El humanismo se remonta a los antiguos griegos, al confucionismo chino y al Renacimiento. Es una filosofía que pone al hombre, con sus posibilidades y sus limitaciones, como fundamento y como centro de todas las cosas, de tal forma que:

Todos los seres humanos tienen derecho a un pensamiento libre e independiente.
Dogmas, ideologías y tradiciones deben sopesarse y cuestionarse por cada individuo particular.
Todos los seres humanos tienen el derecho a dar significado y valor a lo que deseen. El significado de la vida es vivir una vida con significado.
Lo importante es el amor a la vida, aquí y ahora.

La matemática humanista es una idea que se remonta a Platón y que ha sido defendida por diferentes matemáticos a lo largo de la historia al resaltar el papel de la intuición, de la imaginación y la creatividad en las ideas matemáticas.

El humanismo como escuela formal en filosofía de la matemática fue creada por Reuben Hersh en 1979 [Hersch, 1999].

La revitalización moderna de este tema se debe principalmente a Alvin White [1993]. En 1986 organizó una conferencia, a la que asistieron matemáticos, filósofos y educadores, para discutir la relación entre matemática y humanismo y para intentar descubrir lo que estaba equivocado en la educación matemática. La entusiasta respuesta condujo a la creación del Humanistic Mathematics Newsletter en 1987. En 1992 se convirtió en Humanistic Mathematics Network Journal. Actualmente se publica solo en Internet.

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